一些导数题

练练手

1. 已知函数$f(x)=(x+a)e^x,a\in\mathbb{R}.$
   （1）讨论$f(x)$在$(0,+\infty)$的单调性；
   （2）是否存在$a,x_0,x_1$，且$x_0\neq x_1$，使得曲线$y=f(x)$在$x=x_0$和$x=x_1$处有相同的切线？证明你的结论.

2. 已知函数$f(x)=\ln x,g(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right).$
   （1）证明：当$x\geqslant1$时，$f(x)\leqslant g(x)$；
   （2）设$a,b$为正实数且$a\neq b$.
   （i）若$a^b=b^a$，证明：$\sqrt{ab}> e$；
   （ii）若$a+b=1$，证明：$a^b+b^a< \sqrt{a}+\sqrt{b}< a^a+b^b$.

3. 已知函数$f(x)=x\ln x-ax^2+x(a\in\mathbb{R}).$
   （1）证明：曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线$l$恒过定点；
   （2）若$f(x)$有两个零点$x_1,x_2$，且$x_2>2x_1$，证明：$\sqrt{x_1^2+x_2^2}>\dfrac{4}{e}$.

4. 已知函数$f(x)=\dfrac{a}{2}x^2-x-x\ln x(a\in \mathbb{R})$.
   （1）若$a=2$，求方程$f(x)=0$的解；
   （2）若$f(x)$有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为$x_1,x_2$，求$a$的取值范围并证明：$f(x_1)+f(x_2)<\dfrac{1}{2e}$.

5. 已知函数$f(x)=e^x-\dfrac{a}{x}(a\in \mathbb{R})$.
   （1）讨论函数$f(x)$零点个数；
   （2）若$|f(x)|>a\ln x-a$恒成立，求$a$的取值范围.

6. 已知函数$f(x)=\sin x-x+ax^2,a\in\mathbb{R}.$
   （1）若曲线$y=f(x)$在$x=\pi$处的切线过原点，求$a$的值；
   （2）当$x\leqslant5$时，$f(x)\geqslant0$，求$a$的取值范围.